A. Ukuran Sudut
1. Ukuran Derajat
Besar sudut dalam satu putaran adalah 360Β°. Berarti 1Β°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( β ) dan detik ( β ).
Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:
2. Ukuran Radian
Satu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
3. Hubungan Derajat dengan Radian
Untuk mengubah sudut sebesar π ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:
Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:
Contoh Soal
1. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!
Jawab :
2. Nyatakan sudut 154Β° ke satuan radian!
Jawab:
3. Suatu lingkaran memiliki panjang busur 15 cm dan dengan sudut pusat 45Β°, carilah jari-jari lingkaran tersebut!
Jawab:
Kita harus merubah π= 45Β° ke dalam bentuk radian.
B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikanlah gambar berikut!
Jika dipandang dari sudut π, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.
Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka
Contoh soal
1. Perhatikan gambar berikut!
Diketahui panjang AC = 9 cm, dan panjang AB = 12 cm, dengan sudut b = π. Tentukan nilai dari sin π, cos π, dan tan π!
Pemecahan:
2. Jika sin 15Β°= y. Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!
a. Cos 15Β°
b. Tan 15Β°
c. Sin 75Β°
d. Cos 75Β°
e. Tan 75Β°
f. Cosec 15Β°
g. Cotan 75Β°
h. Sec 75Β°
Pemecahan:
a. Cos 15Β°
b. Tan 15Β°
c. Sin 75Β°
d. Cos 75Β°
e. Tan 75Β°
f. Cosec 15Β°
g. Cotan 75Β°
h. Sec 75Β°
3. Jawablah pertanyaan berikut!
b. Tentukan nilai dari
Pemecahan:
b. Nilainya adalah
C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam satu putaran, yaitu 360Β°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:
1. Kuadran I : 0Β°β€ Ξ± β€ 90Β°
2. Kuadran II : 90Β° < Ξ± β€ 180Β°
3. Kuanran III : 180Β° < Ξ± β€ 270Β°
4. Kuadran IV : 270Β° < Ξ± β€ 360Β°
Perhatikan gambar berikut!
1. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I
Pada β AOC, berlaku:
Pada β BOC, berlaku:
2. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II
Pada β AOC, berlaku: β Ξ± = 180Β°- π
3. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III
Pada β AOC berlaku: β AOP = Ξ±
4. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kadran IV
sin (360Β° - πͺ) = - sin πͺ
cos (360Β° - πͺ) = cos πͺ
tan (360Β° - πͺ) = - tan πͺ
cosec (360Β° - πͺ) = - cosec πͺ
sec (360Β° - πͺ) = sec πͺ
cotan (360Β° - πͺ) = - cotan πͺ
5. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360Β° atau Sudut Negatif
a. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360Β°
Sin (k Γ 360Β° + πͺ) = sin πͺ
Cos (k Γ 360Β° + πͺ) = cos πͺ
tan (k Γ 360Β° + πͺ) = tan πͺ
cosec (k Γ 360Β° + πͺ) = cosec πͺ
sec (k Γ 360Β° + πͺ) = sec πͺ
cotan (k Γ 360Β° + πͺ) = cotan πͺ
Keterangan:
k = banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif.
b. Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif
Sin (- πͺ) = -sin πͺ
Cos (-πͺ) = cos πͺ
tan (-πͺ) = -tan πͺ
cosec (-πͺ) = -cosec πͺ
sec (-πͺ) = sec πͺ
cotan (-πͺ) = -cotan πͺ
Contoh Soal
1. Nyatakan sudut berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip positif!
a. Sin 175Β°
b. Cos 325Β°
c. Sec (-225Β°)
d. Tan 780Β°
e. Sin 3500Β°
2. Diketahui sin 35Β° = 2k, nyatakan trigonometri sudut berikut dalam k!
a. Sin 55Β°
b. Cos (-215Β°)
c. Tan 125Β°
d. Cosec 935Β°
e. Sin 665Β°
Pemecahan:
D. Persamaan Trigonometri sin x = sin Ξ±, cos x = cos Ξ±, dan tan x = tan Ξ±
1. Jika sin x = sin Ξ±, maka x = Ξ± + k . 360Β° atau x = (180Β° - Ξ±) + k . 360Β°
2. Jika cos x = sin Ξ±, maka x = Ξ± + k . 360Β° atau x = (360Β° - Ξ±) + k . 360Β° = -Ξ± + k . 360Β°
3. Jika tan x = tan Ξ±, maka x = Ξ± + k . 180Β°
Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a. Sin x = sin β
π, 0 β€ x β€ 2π
b. Tan x = tan β
π, 0 β€ x β€ 2π
c. Cos x = cos 150Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
Pemecahan:
a. Sin x = sin β
π, 0 β€ x β€ 2π
Himpunan penyelesaian = {β
,β
π}
b. Tan x = tan β
π, 0 β€ x β€ 2π
Himpunan penyelesaian={β
π ,4/3 π}
c. Cos x = cos 150Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesaian= {150Β°,210Β°}
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!
a. Sin x = cos 300Β°, 15Β°β€ x β€ 360Β°
b. Cos x = cotan 135Β°, 0Β°β€ x β€ 360Β°
c. Tan x = sin 0Β°, 180Β°β€ x β€ 360Β°
d. Cos 3x = cos 180Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
e. Sin (30Β°+x) = sin 75Β°, 0Β°β€ x β€ 270Β°
f. Sin (4x+38Β°) = sin 173Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
g. Tan x = β
β3, 0 β€ x β€ 2π
Pemecahan:
a. Sin x = cos 300Β°, 15Β°β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesaian={30Β°,150Β°}
b. Cos x = cotan 135Β°, 0Β°β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesainnya adalah {180Β°}
c. Tan x = sin 0Β°, 180Β°β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesaian= {180Β°,360Β°}
d. Cos 3x = cos 180Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesain={60Β°,180Β°, 300Β°}
e. Sin (30Β°+x) = sin 75Β°, 0Β°β€ x β€ 270Β°
Himpunan penyelesain={45Β°,75Β°}
f. Sin (4x+38Β°) = sin 173Β°, 0Β° β€ x β€ 360Β°
Himpunan penyelesaian={33,75Β°; 82,25Β°; 123,75Β°; 172,25Β°; 213,75Β°; 262,25Β°; 303,75Β°; 352,25Β°}
g. Tan x = β
β3, 0 β€ x β€ 2π
Himpunan penyelesaian = {β
π, 7/6 π}
E. Identitas Trigonometri
1. Rumus Dasar
2. Menentukan Identitas Trigonometri
a. Ubah bentuk ruas kiri hingga sama dengan bentuk ruas kanan.
b. Ubah bentuk ruas kanan hingga sama dengan bentuk tuas kiri.
c. Kedua ruas diubah hingga didapat bentuk baru yang sama.
Contoh Soal
1. Buktikan bahwa sec2 πͺ + tan2 πͺ = 2tan2πͺ+1
2. Buktikan bahwa sec Y β cos Y = sin Y . tan Y
Penyelesaian:
1. sec2 πͺ + tan2 πͺ = 2tan2πͺ+1
Ruas kiri
= tan2 πͺ + 1 + tan2 πͺ
= 2 tan2 πͺ+1
2. sec Y β cos Y = sin Y . tan Y
bukti dengan mengubah ruas kiri
F. Trigonometri Pada Segitiga Sembarang
1. Aturan Sinus
Rumus:
Contoh soal
1) Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang x dalam cm!
Penyelesaian:
2. Aturan Cosinus
Rumus:
a2 = b2+c2 - 2bc cos πͺ
b2 = a2+c2 - 2ac cos π«
c2 = a2+b2 - 2ab cos π¬
Contoh soal
1) Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang PR!
Pemecahan:
PR2 = RQ2 + PQ2 β 2RQPQ cos β Q
PR2 = 172 + 302 β 2 . 17 . 30 cos 53Β°
PR2 = 289 + 900 β 1020 . β
PR2 = 1189 β 612
PR2 = 577
PR = β577 = 24,02 cm
3. Luas Segitiga
Rumus:
L = Β½ ab sin π¬
L = Β½ bc sin πͺ
L = Β½ ac sin π«
Contoh Soal
1. Hitunglah luas ABCD berikut!
Pemecahan:
a. Untuk β BCD
Luas β BCD = Β½ BD.CD. sin β D
Luas β BCD = Β½ . 18β2 . 12β6 . sin 30Β°
Luas β BCD = Β½ . 18β2 . 12β6 . Β½ = ΒΌ . 216β12 = 108β3 cm2
b. Untuk β ABD
Luas β ABD = Β½ AD.BD. sin β D
Luas β ABD = Β½ . 18. 18β2 . sin 105Β°
c. Luas ABCD
Luas ABCD = Luas β BCD + Luas β ABD
Luas ABCD = 108β3 cm2 + 81β3 + 81 cm2
Luas ABCD = 189β3 cm2 + 81 cm2
Luas ABCD = 327,35 + 81
Luas ABCD = 408,35 cm2
No comments:
Post a Comment